1.1 前史背景

自古至今,伊拉克注定都是一个令人瞩意图当地。发源于土耳其东南部托罗斯(Taurus)山脉南麓的幼发拉底河(Euphrates)和底格里斯河(Tigris),从安纳托利亚(Anatolia)高原奔腾而出,在阿拉伯高原上的大漠之中日夜兼程,流向广大静寂的波斯湾。

幼发拉底河和底格里斯河之间那一片广袤的冲积平原,一般称之为美索不达米亚(Mesopotamia),《旧约》的希腊翻译家们把它看做是古代城市哈兰邻近的亚伯拉罕的故土,意思便是“河流之间的土地”。前期的时分,美索不达米亚仅仅指两河流域的北部,而南边叫做“巴比伦尼亚(Babylonia)”。美索不达米亚显着的分为南北两个部分,从幼发拉底河畔的希特究竟格里斯河滨的萨马腊一线,是比较天然的地舆分界线。这条线的北部,是古代亚述帝国的所朱安婕在地,而南部肥美的冲积平原便是闻名遐迩的巴比伦(Babylon)和苏美尔(Sumer)的故土。

远古年代,美索不达米亚周边都是荒蛮的游牧民族,北方安纳托利亚半岛的印欧人和南边的闪米特人,常常进犯和掠取富庶的美索不达米亚区域,而且先后树立了许多巨大的帝国。“美索不达米亚的前史,在很大程度上也便是一部印欧人侵略者与闪米特人侵略者为抢夺这块肥美的两河流域区域而打开的长达数千年的奋斗史。”这种接连侵略的方法一向继续到榜首次国际大战后奥斯曼帝国崩溃停止,而中东区域动荡不安的形势和频频迸发的战役,也能够以为是那种古代方法的余韵。

从十八世纪开端,西方的旅行者和探险家们依据古籍的记载,开端在全国际规模内寻觅文明古国的地下遗址。最著名的比便利是德国考古学家亨利希﹒谢里曼发现特洛伊古城遗址的事情。正是在谢里曼以及其他后继者一个多世纪的郊野考古开掘,咱们对古代国际的前史才有了愈加翔实的常识。

迄今停止,人们所能找到的最陈旧的文明,便是坐落今日伊拉克境内的“苏美尔文明”。法国外交官欧内斯特﹒德﹒萨尔泽克是榜首位发现苏美尔文物的探险者。

苏美尔人自称“黑头人”,他们是和闪族与印欧人不同种族的土著居民,大约公元前4000年左右就开端在两河流域区域久居。他们的首都是乌尔,他们所操控的区域就称为苏美尔。闪族的阿卡德人树立的城邦是巴比伦。巴比伦远在古代就闻名遐迩,而苏美尔文明则不为人知。尽管迄今停止人们都把苏美尔文明和巴比伦文明相提并论,但实践上,这是两种不同的文明。首要,他们是不同的种族,言语也不相同,苏美尔人运用的是苏美尔语,巴比伦人运用的是阿卡德语。其次,从时刻上来说,苏美尔文明要早于巴比伦文明。从公元前3000年到公元前330年,这一区域的统治者变化频频,苏美尔文明也终究消失在前史的长河之中。可是,苏美尔人创造的数学常识和传统,却一直连绵不绝,而且经过希腊人对数学的开展做出了奉献。

苏美尔人和阿卡德人在政治和文明上一直往来频频,终究阿卡德人的巴比伦降服了苏美尔,后来亚述帝国又降服了整个美索不达米亚区域。亚述人在数学上没有什么建树。陆中平后来美索不达米亚平原落入波斯人手中;公元前330年,希腊人降服了美索不达米亚,这个时期,希腊人的数学之花现已怒放,希腊的影响广泛整个近东区域宋丹雅,巴比伦无比光辉的文明落下了帷幕。

从古巴比伦帝国鼓起,到公元前539年波斯人降服这儿,包括苏美尔文明在内的古美素不达米业文明,被统称为古巴比伦文明。咱们在这儿所讲的巴比伦数学,包括了苏美尔数学在内,他们是一脉相承的同一种文明体系。巴比伦数学是数学史上来源最早,撒播更久;相较于古埃及数学,他们获得的成果更高一些。

1.2 陶筹与泥板文书

迄今停止,两河流域最早的原始楔文文献出土于伊拉克南部的乌鲁克,时刻大致在公元前1700前后,但最早的泥板是公元前3200时期的。现在已发现50多万块泥版,其间大部分是经济文献,一小部分是数仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃学文献,它们记载着各种经济问题和算术数表。

苏美尔文明之所以能够重见天日,和他们运用的书写材料有着重要联系。他们没有运用埃及人那种不易保存而又奢华的莎草纸,而是运用当地富余的泥土制造的泥板,用芦苇制成的尖笔在没有枯燥的湿泥板上描写印痕来书写文字和数字。书写好的泥板在枯燥之后比较坚固,比起莎草纸仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃更简略保存,所以至今已有几十万块泥板在巴比伦的故地被开掘出来。

苏美尔人最早运用装有陶筹的圆形或椭圆形空心封球来记数记事。大约在新石器年代前期,即公元前8000年左右,人们就开端运用陶筹记数。公元前四千年代末,人们开端把陶筹包裹在空心的封球里保存,在封球变干变硬之前,在封球上印上印文,以示一切。陶筹有各式各样的形状,它们也被用在前期的算盘上作为核算的东西:小泥锥代表1,泥球代表10,大泥锥代表60,各种陶筹放置在计数板的凹槽里,就能够成为一个算盘。现存最早的算盘便是古巴比伦年代的,是一块石板上放着白色的大理石算珠,大约是公元前300年的产品。

跟着文字的前进和开展,刻写的符号替代了筹码,泥板成为书写记事的首要东西。当然,陶筹封球作为一种民间的东西,简直和泥板一起共存着。从出土文物的景象来看,呈现泥板的当地,总是能够找星斗盘之约到陶筹封球。犹如在核算机如此遍及的今日,咱们仍是能够看到算盘的踪迹。

约公元前24世纪的楔形文字

1.3 巴比伦的记数体系

现存的泥板文书显现,巴比伦人现已创造晰一套有用的记载数值的数字符号。巴比伦人选用60进制,他们现已选用了方位记数法,即同一个数字在不同的方位,标明不同的数值。写数值1,巴比伦的抄写员将他的芦苇笔在泥板上刃口向外侧描写;而标明10,则刃口

平直描写。这两种刻痕结合运用,一向到数字59。而李细姨到60时,1的符号再次仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃运用,就像咱们在标明10这个数字时运用1那样;相似的,能够标明60 60,60 60 60,如此等等。标明0的符号还没有呈现,他们有时分用空位来标明,但有时分也不留空位,所以

表1-1 巴比伦数字

当某些数值里有零的时分,就有必要依据上下文来判别。这个缺点并不影响巴比伦人运用这种记数体系进行精确的算术核算。

当咱们把巴比伦的数字符号改写成用阿拉伯数字标明的方法时,选用每一位用逗号分隔的方法,比方:4,30是一个数字,其榜首位是4,第二位是30;而1,25,30是另一个数字。巴比伦人把75标明成“1,15”,这和咱们把75分钟写成1小时15分钟是相同的,阐明在60进制的记数法中,李佳忆意味着数字每向左移动一位,其值就要扩展60倍;而向右移动一位,其值就要除以60来标明某个分数。因而,咱们把1,25,30换算成十进制的数时,其成果如下:

16060+2560+30=3600+1500+30=5130。

六十进制带给咱们的一个文明遗产便是三角学中圆周分为360度,1度分为60分,1分分为60秒。相似的,1小时分为60分钟,1分钟分为60秒,都反映了巴比伦的记数法。当咱们写下12035′40″时,咱们实践上在运用巴比伦的记数法。而当咱们说现在是晚上8点40分15秒时,咱们实践上讲的是4000多年前巴比伦人的言语,当然,他们有时会更简练地说午后已过8;40,15小时了。

有一种说法以为,巴比伦最早选用的是12进制和10进制,选用12进制的意图是为了使分数便于核算;后来,为了把这两种进位制结合起来,所以发生了60进制。

事实上,在乌鲁克出土的前期原始楔文文献里,现代学者发现了数十种不同的核算体系,有六十进位制的“S体系”、混合进位制的“B体系”、“体系”、“G体系仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃”以及“E体系”,此外,还有专门用来记载时刻的“U体系”和记载容量的“DUG体系”。苏美尔人最常用的是六十进位制的“S体系”,但这个“S体系”也不是朴实的六十进制,而是包括了十进制和六进制的混合核算体系。这也是一种正常现象。关于不同的核算目标,选用不同的进位制,不过是为了核算的便利。即便是今日,咱们的日常日子中,尽管是十进制为主,但十二进制、十六进制、六十进制任然在运用,核算机科学中更是一起运用了二进制、八进制、十进制、十六进制和六十进制。

理论上来说,咱们能够选用任何大于1的整数作为基底构成计数体系的进位制。除过前史的原因之外,现在咱们选用什么进位制,取决于咱们运用的便利和需求。尽管十进制逐步成为干流的计数制,但其它计数制依然存在了适当长的时刻。直到二十世纪晚期,英制的十二进制在工程和机械制造范畴还一向在运用。

1.4 巴比伦的算术

当一套记数体系创造出来后,相应的算术核算规矩也会被制定出来。尽管各种文明的核算方法会有所差异,但加减乘除的根本规矩却是相同的,由于数学最早是为了处理实践的日子需求而开展起来的。换句话说,数学在其原始年代,也是一门经历科学。直到古希腊文明的年代,他们才开端从理论上讨论数学的原理和规矩,然后使数学成为一门朴实的理论科学。除过古希腊文明之外,在绝大多数能够看到的古代数学文献中,作者会首要描绘需求处理的问题,然后用一个算法核算出成果。这个算法或许是显式的,也或许是隐式的。这些文献很少阐明这些算法是怎么得到的,它们是遍及有用,仍是仅仅这类问题的特别解法。相反,咱们仅仅看到许多运用这些算法的比方。当然,从数学后来的开展,咱们能够看到,这些算法是遍及有用的。也便是说,它们是根本的算术规矩的实践运用和契合逻辑的推行,尽管咱们看不到它们推行的具体进程。

从表1-1能够看出,在巴比伦的记数制中,标明数字1的记号和标明数字10的记号是根本记号,从1到59这些数都是用几个或更多根本记号结合而成的。因而,这些数的加减法便是加上或是去掉这些记号。

由于巴比伦数系是一个方位记数体系,加、减,包括进位与借位的实践算法,和咱们现代的算法根本相似,所以关于更大的一般数的加法,他们选用相同方位上的数字相加,满60向具结书是什么意思下一列进位为1的方法。例如,将23,37(=1417)和41,32(=2492)相加,首要是把32和37相加得到(1,09)(=69),这时将09写下,把1进到下一列;相同41+23+1=1,05(=65),终究得到成果为1,05,09(=3909)。

在巴比伦的原始文本里,数字仅仅一个个数字串,而且也没有数字零,其具体的数值要依托上下文来判别。为了明晰起见,现代仲夏幻夜的研讨者一般会对原始文本加以改写,在每一个数字的方位之间加上“逗号”,在整数和分数之间加上“分号”。比方数字串1,25,30能够读成下列三个数字:

加减法的运算比较简略,可是乘除法关于60进制就比较杂乱了。所以关于乘法运算,巴比伦人制造了许多的乘法表。这种表有很多种,每一张表上是某一个数字比方说9的倍数,从19到209,然后再给出309,409,509(见图1-2)。

假如要核算349,他们先在乘法表上找到309=40,30(=270)和49(=36),然后再把这两个数加起来,就能够得到成果5,06(=306)。为了核算更多位数的60进位数的乘法,巴比伦人制造了很多张这样的乘法表。和咱们现在的九九乘法表比较,巴比伦的乘法表是很巨大的。

图1-2 一块用于9的乘法表

关于除法,巴比伦人用的是倒数表。由于除以一个整数a就等于乘以这个数的倒数,所以巴比伦人是把除法转化成了乘法来做的。

因而,他们也制造了很多种倒数表。这就阐明巴比伦也有了分数的概念。假如用分号来把整数和分数部分分隔,六十进制的分数0;7,30就代表1/8。

下面咱们给出一张倒数表的一部分:

2 30

3 20

4 15

5 12

6 10

8加勒比女 7,30

9 6,40

10 6

12 5

15 4

在这张表中,第二列数是榜首列数的倒数,比方30标明30/60=1/2,也便是姐summer说,榜首列数和第二列数的乘积都等于1。

这样,做除法时,除以榜首列的数,就等于乘以第二列的数。

运用数表核算,是巴比伦算术的一大特征。

研讨巴比伦泥板的学者们还发现了扩展了的倒数表,这种倒数表包括象7和11这些其倒数不能用六十进制有限小数标明的数,而且把它们的倒数给出了有几位小数的近似值。

还有平方表、立方表和开方用的平方根表,还有用于核算复利的利息表和一些适当杂乱的数字程序利息表。

明显,巴比伦人把日常日子中需求核算的东西都制成了各种数表。其实,在核算机遍及之前的二十世纪,咱们现代人也从前广泛运用各种数表,比方三角函数表、对数表等等,而这是从古巴比伦开端的。

巴比伦的方根表,当方根是整数时,给出的是精确值,当方根是其它数值的时分,相应的六十进制数值只能是近似值。没有依据标明巴比伦老公图片人懂得无理数,他们用比较多的位数来标明无理数。

比方巴比伦人给出的2的平方根的近似值是1.4142128......其六十进制数是1;24,51,10,这一成果的推导进程没有给出,数字见于耶鲁大学巴比伦保藏所的YBC7289号泥板,是一个核算正方形对角线的图形。

这个近似值其精确度现已到达小数点后五位,直到近两千年后,以公元一世纪的希腊数学家希罗命名的方法也给出了彻底相同的成果。咱们将会看到,毕达哥拉斯学派正是在核算正方形的对角线的时分发现了无理数。

1.5巴比伦的代数

咱们从泥板中的各种数表里能够了解到巴比伦算术的具体细节,他们的数系和核算规矩以及一些特别算法。还有一些文件和咱们前面讲的内容不同,它们是处理代数与几许问题的。数学方面的楔形文本一般包括两类文件,一类是各种数表,9的乘法表和倒数表是完好的典范;另一类文件是各种问题的聚集,有些问题只给出最终成果,没有解题的进程,可是也有许多问题给出了解题进程,他们乃至妄图阐明二次方程的一般解法,他们还用变量置换的方法把更为杂乱的代数问题化成较为简略的问题。和一切的古代文明相同,巴比伦的代数问题和解题方法都是用言语描绘的,而不是用符号来标明的。

二次方程的求解是巴比伦代数的一个根本问题。比方求出一个数,使它与它的倒数之和等于给定的一个数,用现代的符号来标明,巴比伦人要求出下列方程的解:

收拾后便是一个关于x的二次方程,即

他们先作出(b/2),再作出

然后得到答案:

这实践上阐明巴比伦人是知道二次方程的求根公式的。比方给定两数之和与两数之积而求这两个数,即

由此,就能够当即得出x和y是下面这个方程的解:

关于二次方程的具体解法,有一个大不列颠博物馆保藏的编号为BM13901的文本,(见《前期数学史选篇》第27页)共有24节内容,其间第六节的内容翻译如下:

我把我的正方形面积加上正方形变长的三分之二得

0;35。取1作“系数”,系数1的三分之二是0;40。

其一半是0;20,将它乘以0;20,(成果是)0;6,40,

把它加到0;35上,(成果是)0;41。40的平方根是

0;50。将0;20自乘,并从0;50中减去,那么0;30

便是正方形的边长。

这一例题陈说并求解了下列二次方程:

2/3是用一个特别的记号写的。榜首步是把2/3化为六十进制的数0;40。假如咱们依照文本中陈说的解法一步一步作下去,就会得到如下的表达式:

咱们知道,二次方程x+px = q正数解是:

从上面两个比方能够看出,巴比伦人对二次方程有着通用的求解方法,其成果和现代的求根公式是共同的。而第二个问题并不是具有实践含义的问题,由于把面积和长度相加,明显没有任何实在的几许含义。

一种或许的解说是,巴比伦人经过图形的几许联系来协助求解比如二次方程这样的代数问题。第二个问题的陈说是十分清晰的,使咱们能够切当地了解一般的解题进程。

可是,任何文本都没有指明那些蕴含在解题进程中的规矩是怎么被发现的。一切的古典文明的数学根本都是这种状况,直到古希腊年代,证明的概念才真实建立起来。

除过仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃二次方程之外,巴比伦人对一些特别的高次方程也能够解出来。比方像下面这样的方程

能够经过变量置换化简成一般的二次方程来求解。对不知道数的表达一般是用文字来叙说的,有时分用来自几许的术语长、宽、面积等来标明不知道数。巴比伦人有时也用特别的记号来标明不知道数。 在有些问题里,他们用两个苏美尔文字来标明互为倒数的不知道数。由于这两个文字在古苏美尔文里是象形文字,而它们在其时现已不流行,所以加在阿卡德文里就等于用两个特别的符号来标明不知道数,就好像在现代汉语里参加两个甲骨文字符,是很简略分辩的。

巴比伦的代数触及的规模之广,一点点不亚于古希腊的数学。他们关于包括两个不知道数的方程组,也供给了具体的解题进程。咱们从泥板文书VAT8389中找到一个解方程组的比方:

两块田地中,一块每沙尔(sar)出产2/3西拉(sila)

谷物,另一块每沙尔出产1/2西拉谷物。榜首块地的产量比

第二块地多500西拉。两块地的面积总共是1800沙尔,问

每块地的面积是多大?

用x和y来标明不知道面积,则这个问题能够标明为下列方程组:

这个方程组的一个现代的解法是代入法,即从第二个方程里求出x,然后代入榜首个方程里。可是巴比伦人的解法却是一种猜想然后加以调整的方法:他们先假定x和y都等于900,然后代入榜首个方程核算:

2/3900-1/2900=150

所得到的成果和方程要求的500相差350。为了调整得数,他们以为x的值每添加一个单位,则y的值会相应的削减一个单位,然后“函数”(2/3)x - (1/德米亚尼2)y就会添加2/3+1/2=7/6。因而,只需求解方程(7紫晶兰朵/6)z=350,得到z=300,则x=900+z=1200,y=900-z=600。这个答案是正确的,阐明巴比伦人关于方程的线性性质也有所了解。

1.6 巴比伦的几许

相关于算术和代数,巴比伦的几许是不太重要的,也不是一门独立的学科,他们不像希腊人那样由于理论的爱好而研讨几许,他们总是在处理实践问题时才去研讨几许。

在核算面积的问题里,有些三角形是否是直角三角形,四边形是否是正方形等等,这些总不是很清晰。巴比伦人有许多公式用来核算各类图形的面积,他们乃至也有核算面积的数表——适当于今日的系数伊升优液表,是一种反映不同几许图形的某些数学联系的常数表。比方对三角形给出的系数是0;30,便是十进制的1/2,标明三角形的面积是底乘以高的一半,等等。

核算圆的周长和面积,历来都是一个困难的问题,没有任何简洁的方法来精确地核算一个给定直径的圆的周长和面积。在许多巴比伦的泥板上,圆的周长是当作直径的三倍来核算的。稍作简略的丈量,就能够发现周长比直径的三倍大,可是巴比伦人便是这样用的。很显着这是一个经历的数值,关于有用来讲精度也足够了,或许还由于核算便利,所以撒播了好久。

在许多的楔形文件中,更多的问题是求圆的面积。巴比伦人给出了一个核算圆面积的公式;

式中C是周长,d是直径。这个李郝瑞公式将圆面积的核算和周长联系了起来。按今日的圆面积公式来说,巴比伦的这个公式也是正确的,问题的关键是怎么来核算周长。

巴比伦的楔形文献中没有给出他们是怎么得到这个公式的。一种或许的解说是,把圆切割成许多小扇形,然后把他们从头排列成一个近飞梦网似的矩形,这样,矩形的长边是周长的一半,短边就等于圆的半径,这样就能够得到上述的核算公式。巴比伦人还有别的一个核算圆面积的公式:

在这个公式里他们用3来代表,可是,在他们给出正六边形及其外接圆周长之比时,从核算的成果能够知道,他们是用25/8作为值的。

有一个核算等腰梯形面积的问题,梯形的上下底和斜边都是给定的。他们给出了正确的核算公式,和咱们今日公式是相同的。

在咱们前面说到的YBC7289的泥板夜染君墨皇上,画着一个对角线连接起来的正方形。在这块泥板上,咱们找到了三组数字:

a = 30

b = 1,24,51,10

c = 42,25,35

依据图形,a明显是正方形的边长,假定c是正方形的对角线,依据毕达哥拉斯定理,

则c = 2a,

咱们将图形中c记为42;25,35,化成十进制数是42.4263888...这是c的值,再除以30,得到1.4142129,这恰好是2的平方根的近似值,而咱们假如将b记为1;2蚊仙缘4,51,10,化成十进制数是1.4142128,由此可知,b便是2的平方根。

这块只要一个图形和三个数字的简略泥板通知咱们,巴比伦人现已了解正方形的对角线与其边长的的联系。结合其他文本,咱们知道巴比伦人现已把握了毕达哥拉斯定理的悉数概念。

1.7 普林斯顿322泥板

咱们接下来介绍美国哥伦比亚大学保藏的编号为普林斯顿322的泥版。该泥板上的文本阐明巴比伦数学现已到达了比较深邃的水平。该文本处理的是咱们一般所说的毕达哥拉斯三元数组,即由三个整数组成的数组,例如3,4,5或7,24,25。数组中的三个数代表直角三角形的三条边。因而,数组中三个数满意方程

那么,这种三元数组共有多少?咱们怎么求出它们?很明显,咱们依据数组3,4,5,当即能够得到无量多组毕达哥拉斯三元数组,即3n,4百鬼志事n,5n,这儿n = 2,3,4...。可是,咱们只能把它们都看作是用3,4,5标明的一组数,这组数就称为约化三元数组,又称为来源三元数组。一切毕达哥拉斯三元数组都是约化三元数组。

在普林斯顿322泥板上,巴比伦人列举了十五行对应于x/y,x,z的数值,其间x,y,z是约化的毕达哥拉斯三元数组。

毕达哥拉斯三元数组是不定方程(1)的正整数解,三世纪的古希腊数学家丢番图才开端研讨不定方程的解,后来开展成为数论的一个分支学科。那么,巴比伦人是怎么构造出这张表的?他们的意图又是什么?由于普林斯顿322泥板的左半部分破坏,这两个问题现在现已找不到答案。可是,咱们有一个毕达哥拉斯三元数组的定理仙桃气候,数学史系列之3:熟睡七千年的巴比伦的数学,猪蹄怎么做好吃:

若p和q是整数,当它们满意以下条件时

1) p>q>0;

2)p和q 无公约数(除掉1);

3)p 和q不一起为奇数;

则表达式

将生成一切约化毕达哥拉斯三元数组,而且每个三元数组是仅有的。

例如,当p=2,q=1发生x=3,y=4,z=5;p=3,q=2发生x=5,y=12,z=13 。很明显,巴比伦人现已知道了这个定理的某种方法,不然,它们不或许给出泥板上的那些数组,由于它们包括的数如此之大(例如x=12709,y=13500,y=18540)绝不或许是经过试算得到的。要知道巴比伦人对这个问题的愈加具体的常识,只能寄希望于发现新的有关三元数组的泥板或其它材料。

【参考文献】

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  2. 《全球通史》【美】斯塔夫里阿诺斯(Stavrianos)著,董书慧等译,北京大学出版社2005年6月。
  3. 《苏美尔、埃及、我国古文字比较研讨》,拱玉书、颜海英、葛英会著,科学出版社2009年10月版。
  4. 《前期数学史选篇》,【美】A.艾鲍著,周明强译,北京大学出版社1990年3月版。